Coldrain 的 27 考研数一高数强化阶段拾遗（上）

✍ 写在前面

本笔记为 Coldrain 二刷基础时所记，故笔记内容并没有做到全覆盖，而只针对每一章节重要且容易遗忘的知识点，所以本笔记可用于一轮学习结束之后对重难考点进行查漏补缺，但请不要用于替代考研书籍来进行一轮复习

“岂不闻天无绝人之路，只要我想走，路就在脚下。”—— 25 奥本海豚

1. 函数极限与连续

1. 函数奇偶性相关结论

   • （1）$f(x) + f(-x)$ 必是偶函数
   • （2）$f(x) - f(-x)$ 必是奇函数
   • （3）$f(\varphi(x))$ 内偶则偶，内奇同外
   • （4）求导一次，奇偶性互换
   • （5）$f(x)$ 奇（偶）$\Rightarrow \int_{0}^{x} f(t)dt$ 偶（奇）
   • （6）对任意 $x$、$y$，都有 $f(x+y) = f(x) + f(y)$，则 $f(x)$ 为奇函数

2. 函数极限的定义：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) =A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exist \delta > 0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x) -A| < \epsilon$

3. 函数极限的局部保号性

   • （1）$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A < 0 \Rightarrow$ 存在 $x_0$ 的去心领域使 $f(x) < 0$
   • （2）$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A > 0 \Rightarrow$ 存在 $x_0$ 的去心领域使 $f(x) > 0$

4. 无穷小的比阶

   • （1）高阶无穷小：$\lim \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则 $\alpha(x)$ 为 $\beta(x)$ 的高阶无穷小
   • （2）低阶无穷小：$\lim \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty$，则 $\alpha(x)$ 为 $\beta(x)$ 的低阶无穷小
   • （3）同阶无穷小：$\lim \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \ne 0$，则 $\alpha(x)$ 为 $\beta(x)$ 的同阶无穷小
   • （4）等价无穷小：$\lim \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则 $\alpha(x)$ 为 $\beta(x)$ 的等价无穷小
   • （5）$k$ 阶无穷小：$\lim \dfrac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = c \ne 0$，则 $\alpha(x)$ 为 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小

5. $x\to 0$ 时常用等价无穷小

   • $\sin x ～ x$
   • $\tan x ～ x$
   • $\arcsin x ～ x$
   • $\arctan x ～ x$
   • $\ln (1+x) ～ x$
   • $e^x -1 ～ x$
   • $\alpha^x - 1 ～ x \ln(\alpha)$
   • $1 - \cos x ～ \dfrac{1}{2} x^2$
   • $1 - \cos^a x ～ \dfrac{a}{2} x^2$
   • $(1+x)^{\alpha} - 1 ～ \alpha x$
   • $\ln (x + \sqrt{1 + x^2}) ～ x$

⚠️ 差值型表达式不能随便用等价无穷小替换！（1000a 第一讲 19 题）

• 等价无穷小一般适用于乘除结构，比如 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$，在此式子中可以使用 $\sin x ～ x$

• 但对于 $\dfrac{e^x + xe^x}{e^x - 1} - \dfrac{1}{x}$，该式子为 “两个无穷大量相减”，最后结果依赖于 $e^x - 1$ 的二阶项，故必须先通分才能使用等价无穷小

• 更严格的条件是：对于 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{f(x) \pm g(x)}{x^k}$，若想要使用无穷小等价代换，必须要求分子多项式中代换出 $x^l$，其中 $l \ge k$。如果代换不出来，请老老实实使用泰勒公式展开到至少 $k$ 阶

6. 泰勒公式：设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 $n$ 阶可导，则有 $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} (x-0)^k$

💡 等价无穷小是泰勒公式展开的一种特殊情况

💡 常用泰勒展开式

• $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3)$
• $\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + o(x^4)$
• $\arcsin x = x + \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3)$
• $\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3) \Rightarrow a^x = e^{x\ln a} = 1 + x\ln 2 + \dfrac{(x\ln 2)^2}{2!} + ...$
• $(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + o(x^2)$
• $\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)$ （其实就是上面 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开求一次导，下面的也同理）
• $\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3)$

💡 两函数乘积的泰勒展开，等于各自泰勒展开相乘，即 $f(x)g(x)$ 的泰勒展开等于 $f(x)$ 的泰勒展开乘 $g(x)$

7. 间断点
   • （1）可去间断点：$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)= A \ne f(x_0)$（$f(x_0)$ 甚至可以无定义）
   • （2）跳跃间断点：$\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) \ne \lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)$
   • （3）无穷间断点：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$
   • （4）振荡间断点：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 震荡不存在

💡 前两个为第一类间断点，后两个为第二类间断点

⚠️ 求间断点时注意事项：

• （1）如果发现分子分母可以通分，千万不要消，因为消去的那一项是个可去间断点 🌚

8. 两个重要极限

   • （1）$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
   • （2）$\lim\limits_{x\to \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{x} = e$

9. 求渐近线

   • （1）垂直渐近线：找函数分母为 0 的点，若分母为 0 的点为 $x_0$，接下来求其极限，若 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \infty$，则直线 $x=x_0$ 为曲线 $y = f(x)$ 的垂直渐近线
   • （2）水平渐近线：若 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = A$，则直线 $y = A$ 为曲线 $y = f(x)$ 的水平渐近线（若 $\lim\limits_{x\to + \infty}f(x) = A$，则曲线右侧有一水平渐近线；若 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = A$，则曲线左侧有一水平渐近线）
   • （3）斜渐近线：$k = \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x\to \infty}f'(x)$，$b = \lim\limits_{x\to\infty} [f(x) - kx]$

⚠️ 渐近线注意事项：

• （1）求取渐近线的时候，要小心 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 两个位置渐近线不同的情况！
• （2）斜渐近线的求取还有一种快捷方法：利用泰勒展开后略去高阶无穷小直接得到斜渐近线

10. 局部保号性（必考点）：

    • （1）如果 $f(x) \to A(x \to x_0)$ 且 $A > 0$（或 $A<0$），那么存在常数 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $f(x) > 0$（或 $f(x)<0$）
    • （2）如果在 $x_0$ 的某去心领域内 $f(x) \ge 0$（或 $f(x) \le 0$）且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A$，则 $A\ge 0$（或 $A \le 0$）

11. 变上限积分型极限（张宇强化）

    • （1）一型（$f\to 0$）：当 $x\to 0$ 时，$f(x) ～ ax^m$，$a\ne 0$ 且 $m$ 为正整数，则有 $\int_{0}^{x} f(t) dt ～ \int_{0}^{x} at^m dt$
    • （2）二型（$f \not{\to} 0$）：若 $\lim\limits_{x\to 0}f(x) =A \ne 0$，$\lim\limits_{x\to 0} h(x) = 0$，且在 $x\to 0$ 时，$h(x) \ne 0$，则 $\int_{0}^{h(x)} f(t) dt～ Ah(x)$
    • （3）复合型：当 $x \to 0$ 时，若 $f(x) ～ ax^m$，$g(x) ～ bx^n$，则 $\int_{0}^{g(x)} f(t) dt ～ \int_{0}^{bx^n} at^m dt$

⚠️ 上面这种积分类的题型，如果遇到被积函数里面出现 $x$ 该怎么办？

• 不要慌，想办法通过换元或三角恒等变形将 $x$ 提取到积分外面【1000b.1.4】

2. 数列极限

可以看看没咋了的数列极限概念题梳理：传送门

1. 数列极限

   • 设 $\{x_n\}$ 为一数列，若存在常数 $a$，对于任意 $\epsilon > 0$（不论它多小），总存在正整数 $N$，使得当 $n> N$ 时，$|x_n - a| < \epsilon$ 恒成立，则称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记为：$\lim\limits_{n\to \infty} x_n=a$
   • 如果不存在这样的常数 $a$，则称数列 $\{x_n\}$ 是发散的

2. 收敛数列的基本性质

   • （1）唯一性：若 $\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a$，则 $a$ 必唯一
   • （2）有界性：$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，则 $\{x_n\}$ 必有界
   • （3）保号性：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a>0(<0)$，则 $\exist$ 正整数 $N$，当 $n>N$ 时，$x_n > 0(<0)$
   • （4）保序性（易错）：设 $x_n < y_n(x_n > y_n)$，且 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n$ 均存在，则 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n \le \lim\limits_{n\to\infty}y_n (\lim\limits_{n\to\infty}x_n \ge \lim\limits_{n\to\infty}y_n)$

⚠️ 关于保序性的易错点

• 上面关于保序性的说法，正着说是对的，但是反过来就错了，即 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n \le \lim\limits_{n\to\infty}y_n (\lim\limits_{n\to\infty}x_n \ge \lim\limits_{n\to\infty}y_n)$ 不能倒推 $x_n < y_n(x_n > y_n)$，因为取等号的时候 $x_n, y_n$ 上下振荡，无法判断大小！

• 只有当 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n < \lim\limits_{n\to\infty}y_n (\lim\limits_{n\to\infty}x_n > \lim\limits_{n\to\infty}y_n)$ 时才能说明 $n\to N$ 时有 $x_n < y_n (x_n > y_n)$

• 由此，要注意当数列极限相关的题目中出现 $\textcolor{red}{=, \le, \ge}$ 时，说明 $\textcolor{red}{出题老头要使阴招了！}$

• 比如下面这题：

3. 数列收敛与其子列收敛的关系
   • 若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则其任何子列 $\{a_{n_k}\}$ 也收敛，且 $\lim\limits_{k\to \infty} a_{n_k} = \lim\limits_{n \to \infty} a_n$
   • 特别的，$\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} x_{2k} = \lim\limits_{k\to \infty} x_{2k+1} = a$

⚠️ 数列子列易错点

• 假如题目告诉你 $\lim\limits_{k\to \infty} x_{3k} = \lim\limits_{k\to \infty} x_{3k+1} = a$，无法说明 $\{x_n\}$ 极限存在！因为缺少了 $\lim\limits_{k\to \infty} x_{3k+2} = a$

4. 海涅定理

   • 设 $f(x)$ 在去心邻域 $\dot{U}(x_0,\delta)$ 内有定义，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A$ 存在 $\Leftrightarrow$ 对任意 $\dot{U}(x_0,\delta)$ 内以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}(x_n \ne x_0)$，极限 $\lim\limits_{n \to \infty} f(x) = A$ 存在
   • 如 $f(x) = \dfrac{1}{x} \sin \dfrac{1}{x}$，$x \to 0$ 时
     • （1）若取 $x_n = \dfrac{1}{n\pi} \to 0$，则 $f(x_n) = n\pi \cdot \sin(n\pi)$，故 $\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n) = 0$
     • （2）若取 $x_n = \dfrac{1}{(2n + \frac{1}{2})\pi} \to 0, n\to\infty$，则 $f(x_n) = (2n + \dfrac{1}{2}) \to +\infty, n \to \infty$
     • （3）根据海涅定理，极限 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{x} \sin \dfrac{1}{x}$ 不存在且 $x\to 0$ 时 $\dfrac{1}{x} \sin \dfrac{1}{x}$ 为无界量

5. 数列极限存在准则

   • （1）夹逼准则：$\begin{cases} z_n \le x_n \le y_n \\ \lim\limits_{n\to \infty} y_n = \lim\limits_{n\to \infty} z_n= a \end{cases} \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} = a$
   • （2）单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限
     • 设数列 $\{a_n\}$ 单调递增，若数列 $\{a_n\}$ 无上界（极限不存在），则 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = + \infty$
     • 设数列 $\{a_n\}$ 单调递减，若数列 $\{a_n\}$ 无下界（极限不存在），则 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = - \infty$

⚠️ $\{x_n\}$ 与 $\{f(x_n)\}$

• $\{x_n\}$ 收敛 $\overset{f(x_n) 连续}{\underset{f(x_n) 在区间上严格连续单调，且\textcolor{red}{极限存在于 f(x_n) 的值域内}}{\rightleftharpoons}}$ $\{f(x_n)\}$ 收敛
• 考试常考：“给定 $\{x_n\}$ 收敛判断 $\{f(x_n)\}$ 是否收敛”、“给定 $\{x_n\}$ 发散判断 $\{f(x_n)\}$ 是否发散”、“给定 $\{f(x_n)\}$ 收敛判断 $\{x_n\}$ 是否收敛”、“给定 $\{f(x_n)\}$ 发散判断 $\{x_n\}$ 是否发散”

💡 关于单调有界收敛准则相关证明题

• 单调性：设 $x_{n+1} = f(x_n)$，则当 $f(x)$ 单调递增时，有 $\begin{cases} 若 x_1<x_2，则 \{x_n\} 单调递增 \\ 若 x_1>x_2，则 \{x_n\} 单调递减 \end{cases}$；而当 $f(x)$ 单调递减时，$\{x_n\}$ 一定不单调

• 有界性：根据 $x_{n+1} = f(x_n)$ 先斩后奏算出极限值 $A$，然后利用数学归纳法证明 $A$ 为一个上界

• 例题（除了下面这道还有 27 张宇基础例 2.14）：

• “师爷真是装糊涂的天才！”

6. 压缩映射定理

   • （1）方法一：对数列 $\{x_n\}$，若存在常数 $k(0<k<1)$，使得 $0 \le \textcolor{red}{|x_{n+1} -a| \le k|x_n -a|} \le k^2 |x_{n-1} - a| \le ... \le k^n |x_1 -a|$，那么根据夹逼准则，有 $\lim\limits_{n \to \infty} |x_{n+1} -a| = 0$ 即 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$
   • （2）方法二：对数列 $\{x_n\}$，若 $x_{n+1} = f(x_n)$，$f(x)$ 可导，$a$ 为 $f(x) = x$ 的唯一解，且对任意 $x \in R$，有 $|f'(x)| \le k <1$，则 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$
   • 

7. 无界与无穷大的区别

   • （1）无界数列只需要存在一个无穷大的子列即可
   • （2）无穷大的数列需要所有子列均为无穷大
   • （3）看看例题：
   • 

3. 一元函数微分学（概念）

1. 导数的定义式（增量式）：
   • $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x}$
   • 可导的定义：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处存在上述极限（左右极限均存在且相等），则在 $x_0$ 处可导
   • 注意，上式中的 $\Delta x$ 可以被广义化为趋于 0 的 “🐶”

💡 高阶前向差分公式（经常用于处理离散信号）

• （0）引例：$f''(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f'(x+h) - f'(x)}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{f(x+h+h) - f(x + h)}{h} - \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2}$

• （1）设 $\Delta_h f(x) = f(x+h) - f(x)$，那么一阶导数可以写成 $f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\Delta_h f(x)}{h}$

• （2）设 $\Delta_h^2 f(x) = f(x+2h) - 2f(x+h) +f(x)$，那么二阶导数可以写成 $f''(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\Delta_h^2 f(x)}{h^2}$

• （3）以此类推到 $n$ 阶，$\Delta_h^nf(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} C_{n}^{k} f(x + kh)$，则有 $f^{(n)}(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\Delta^n_h f(x)}{h^n}$

2. 导数的函数式：$f'(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

❓ 易错概念：连续、可导，傻傻分不清？（$\textcolor{red}{重难易错}$）

• （1）连续：对于任意函数 $f(x)$，$f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义且左右极限均等于 $f(x_0)$，那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续（注意，这里只是一点连续，而不是邻域连续！很容易犯错喵 🐱）

• （2）导数：导数的条件比连续要苛刻一点，不仅要求在 $x_0$ 处连续，还要求 $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x}$ 存在（即左导数等于右导数），才能说明在 $x_0$ 点可导！

• （3）$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$ 和 $f'(x_0)$ 的关系：若 $f'(x_0)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导且 $f'(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$（也就是说这个极限存在可得 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导）。而 $\lim\limits_{x\to x_0} f'(x)$ 存不存在和 $f'(x_0)$ 是否存在无关，其用途为 $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x) = f'(x_0)$ 时可以得到 $f'(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，反之则不连续

• 例题：【1000a.3.10】、【1000a.4.8】、【1000b.3】

这一部分可以去看没咋了、吃尽天下面的解析

3. $f(x)$ 与 $|f(x)|$（必考，哪个难就考哪个 🌚）

   • （1）设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\Rightarrow|f(x)|$ 在 $x_0$ 处连续
   • （2）设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则
     • a. $f(x_0) \ne 0 \Rightarrow |f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导且 $[|f(x_0)|]' = \begin{cases} f'(x_0), & f(x_0) > 0 \\ -f'(x_0), & f(x_0) < 0 \end{cases}$
     • b. $f(x_0) = 0$ 且 $\begin{cases} f'(x_0) = 0 \Rightarrow |f(x)| 在 x_0 处可导且 [|f(x_0)|]' = 0\\ f'(x_0) \ne 0 \Rightarrow |f(x)| 在 x_0 处不可导 \end{cases}$

4. 可微的判别

   • （1）写增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
   • （2）写线性增量 $A\Delta x = f'(x_0) \Delta x$
   • （3）作极限 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y - A \Delta x}{\Delta x}$
   • （4）若上述极限等于 0，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微

💡 可微 $\Leftrightarrow$ 可导

4. 一元函数微分学（计算）

1. 基本求导公式（只记了后面几个）
   • $(\arcsin \dfrac{x}{a})' = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$
   • $(\arccos \dfrac{x}{a})' = -\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$
   • $(\cot x)' = -\csc^2 x = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$
   • $(\arctan \dfrac{x}{a})' = \dfrac{a}{a^2 + x^2}$
   • $(arccot \dfrac{x}{a})' = -\dfrac{a}{a^2 + x^2}$
   • $(\sec x)' = \sec x \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
   • $(\csc x)' = -\csc x \cot x = -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$
   • $[\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})]' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$
   • $[\ln(x + \sqrt{x^2 - a^2})]' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2yi}}$

💡 还有一些比较重要的，后面积分部分会经常碰到的奇妙形式：

• $[ \ln(\sec x + \tan x) ]' = \sec x$
• $[\ln(\csc x - \cot x)]' = \csc x$

2. 分段函数的导数

   • （1）在分段点 $x_0$ 处用导数定义来求导数，即用 $\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 分别求出左右导数后，看是否相等来判断分段点导数
   • （2）在非分段点用求导公式

3. 反函数的导数：设 $y = f(x)$ 为单调、可导函数，且 $f'(x) \ne 0$，则存在反函数 $x = \varphi(y)$，且 $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$，即 $\varphi'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$

💡 反函数的二阶导数

• 在 $y = f(x)$ 单调且二阶可导的情况下，若 $f'(x) \ne 0$，则存在反函数 $x = \varphi(y)$，记 $f'(x) = y'_x$、$\varphi '(y) = x'_y$，那么：
• （1）$y'_x = \dfrac{1}{x'_y}$
• （2）$y''_{xx} = - \dfrac{x''_{yy}}{(x'_y)^3}$

4. $n$ 阶导数
   • （1）归纳法：逐次求导，找到规律，得出通式
   • （2）莱布尼茨公式：设 $u = u(x)$、$v = v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则 $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)}$、$(uv)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}$
   • （3）泰勒展开法（一般用于求 $f^{(n)}(0)$）

5. 一元函数微分学（几何应用）

1. 极值点：其定义为 $x=x_0$ 点在其邻域内取得最大值或最小值（可以是导数不存在的点）
2. 拐点：连续曲线的凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点（拐点的判断标准是在该点处左右两侧二阶导数符号相反，也就是说拐点处可能是 $f''(x_0) = 0$，也可能是 $f''(x_0^+) = \pm \infty = -f''(x_0^-)$）

⚠️ 关于凹凸性的易错点：

• ❌ 当 $f''(x_0) > 0$ 时，曲线 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹的：错，一个点的二阶导数怎么能确定邻域的凹凸性呢？

3. 极值点与拐点的重要结论：

   • （1）曲线的$\textcolor{red}{可导}$点不可同时为极值点和拐点；曲线的$\textcolor{red}{不可导}$点可以同时为极值点和拐点
   • （2）设多项式函数 $f(x) = (x - a)^n g(x)(n>1)$ 且 $g(a) \ne 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x=a$ 是 $f(x)$ 的极值点，$n$ 为奇数时，$(a, 0)$ 是曲线的拐点
   • （3）【张宇基础 30 讲 P149，感觉很难用到，先插个眼，等考到了再回来补】

4. 曲率：$k = \dfrac{|y''|}{[1 + (y')^2]^{\frac{3}{2}}}$

5. 曲率半径：$R = \dfrac{1}{k} = \dfrac{[1 + (y')^2]^{\frac{3}{2}}}{|y''|} (y''\ne 0)$

6. 一元函数微分学（中值定理）

下面这些定理的前提是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

1. 有界与最值定理：$m \le f(x) \le M$，其中 $m, M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值qq和最大值

2. 介值定理：$m\le\mu\le M$ 时，存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $f(\xi) = \mu$

3. 平均值定理：当 $a < x_1 < x_2 < ... < x_n < b$ 时，在 $[x_1, x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得 $f(\xi) = \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)}{n}$

4. 零点定理：当 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 时，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = 0$

下面这些定理涉及到导数（微分）

5. 费马定理：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导且取得极值，那么 $f'(x_0) = 0$
6. 罗尔定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 上可导、$f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$

💡 如果题目出现 $f''(x)$，可以尝试在三个点构成的区间内用三次罗尔定理得到（罗尔三点图），且往往配合零点定理使用

7. 拉格朗日中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续、$(a, b)$ 上可导，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$，或 $f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{ b-a}$

⚠️ 拉格朗日中值定理的证明要会！

• （1）设 $F(x) = f(x) - [\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a) - f(a)]$
• （2）易知 $F(a) = F(b) = 0$
• （3）用罗尔定理得 $\exist \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$
• （4）得证

8. 柯西中值定理：设 $f(x), g(x)$ 满足在 $[a, b]$ 上连续、在 $(a, b)$ 上可导、$g'(x) \ne 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $\dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

⚠️ 柯西的证明也要会！

• （1）设 $F(x) = f(x) - \{\dfrac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} [g(x)-g(a)] - f(a)\}$
• （2）剩下的过程和上面拉格朗日证明一样

💡 常用的一阶化归逆用形式（没事多推一推，看到具体形式能想到如何逆用即可，也可以去看看没咋了的专题视频）

• （1）$[f(x) \cdot x^n]' = x^{n-1} [xf'(x) + nf(x)]$
• （2）$[f(x) \cdot e^{nx}]' = e^{nx}[f'(x) + n f(x)]$
• （3）$[f(x) \cdot e^{x^n}]' = e^{x^n} [f'(x) + nx^{n-1}f(x)]$
• （4）$[f(x) \cdot e^{\varphi(x)}]' = e^{\varphi(x)} [f'(x) + f(x) \varphi '(x)]$
• （5）$\{f(x)\cdot e^{\int^x_0 [f(t)]^{n-1} dt}\}' = e^{\int^x_0 [f(t)]^{n-1} dt} \{f'(x) +[f(x)]^n\}$
• （6）$[f(x) \cdot f'(x)]' = [f'(x)]^2 + f(x) \cdot f''(x)$
• （7）$[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
• （8）$[f(x) \cdot \arctan x]' = f'(x) \arctan x + \dfrac{f(x)}{1+x^2}$
• （9）$[f(x) \cdot \sin x]' = f'(x) \sin x + f(x) \cos x = [f'(x) \tan x + f(x)]\cos x$
• （10）$[\dfrac{f(x)}{x}]' = \dfrac{f'(x)x - f(x)}{x^2}$
• （11）$[\dfrac{f'(x)}{f(x)}]' = \dfrac{f''(x) f(x) - [f'(x)]^2}{f^2(x)}$
• （12）$[\ln f(x)]' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$（再导一次就变成（11）了）
• （本质其实是微分方程？）

💡 常用二阶化归逆用（还有第二关？）

• $[f(x) \cdot e^x]'' = e^x [f''(x) + 2f'(x) + f(x)]$

7. 一元函数微分学（物理应用）

💡 这一章似乎没有什么好说的，做题时要注意题目里有些变量不会直接告诉你，而是隐含在题目背景里的，比如时间 $t$

8. 一元函数积分学的概念和性质

1. 连和与连积的极限
   • （1）基本型（能凑成 $\dfrac{i}{n}$）：用 $\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=1 or 0}^{n} f(0 + \dfrac{1-0}{n}i) \dfrac{1-0}{n} = \int^1_0 f(x) dx$
   • （2）放缩型（凑不成 $\dfrac{i}{n}$）：夹逼准则或放缩
   • （3）变量型（$\dfrac{x}{n} i$）：用 $\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=1 or 0}^{n} f(0 + \dfrac{x-0}{n}i) \dfrac{x-0}{n} = \int^x_0 f(t) dt$

⚠️ 上面的式子 $\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=1 or 0}^{n} f(0 + \dfrac{x-0}{n}i) \dfrac{x-0}{n} = \int^x_0 f(t) dt$ 很重要，其中的 $x$ 可以替换成其他常数或变量

2. 连续、原函数存在、可积的易错点
   • （1）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在原函数，且为 $\int_a^x f(t)dt$
   • （2）但若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内不一定存在原函数！（比如符号函数）
   • （3）连续一定可积、可积一定有界，但有界不一定可积、可积不一定连续（即使函数有间断点，也可能可积，比如符号函数）
   • （4）对于含有第一类间断点、无穷间断点的函数在包含该间断点的区间内必无原函数
   • （5）对于含有振荡间断点的函数在包含该间断点的区间内可能有原函数
   • （6）原函数存在与可积没有必然联系，原函数存在不一定可积，可积不一定存在原函数

💡 只要函数 $f(x)$ 在某区间上可导，则其导函数 $f'(x)$ 在该区间上一定没有第一类间断点和无穷间断点

3. 反常积分敛散性判别（⭐ 重难点）
   • （1）基本结论（要背下来）
     • $\int^1_0 \dfrac{1}{x^p} dx \begin{cases} 收敛，& 0<p<1 \\ 发散，& p\ge 1 \end{cases}$，$\int^1_0 \dfrac{\ln x}{x^p} dx \begin{cases} 收敛，& 0 \le p<1 \\ 发散，& p\ge 1 \end{cases}$
     • $\int^{+\infty}_1 \dfrac{1}{x^p} dx \begin{cases} 收敛，& p>1 \\ 发散，& p\le 1 \end{cases}$，$\int^{+\infty}_1 \dfrac{\ln x}{x^p} dx \begin{cases} 收敛，& p>1 \\ 发散，& p\le 1 \end{cases}$
   • （2）二级结论（做题时遇到的）
     • 若 $\int^{+\infty}_{0}f(x)dx$ 收敛，则 $\int^{+\infty}_{0}f^2(x)dx$ 收敛，反之错误（证明：$\int^{+\infty}_{0}f(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{f^2(x)}{f(x)} = 0 \Rightarrow$ 由比较判别法可知 $\int^{+\infty}_{0}f^2(x)dx$ 收敛）

⚠️ 注意：

• （1）第一行基本结论中 $0<p$ 是因为该函数为“反常积分”，如果题目没有明确说这是个反常积分，则取值范围可以 $\le 0$
• （2）在上述基本结论中，$\ln x$ 形式上不起作用（一般只有 $x\to 1$ 时才起作用，要注意区分。比如例题 $\int^1_0 \dfrac{\ln x}{x^p (1-x)^q}$ 中，拆成 $(0, \dfrac{1}{2})$ 和 $(\dfrac{1}{2}, 1)$ 两个部分后，在第二个部分中 $\ln x$ 是起作用的，而在第一个部分中不起作用，可以直接抹去）
• （3）题目中经常需要用到比较判别法，要多训练

⚠️ 关于反常积分的易错点：对于 $\int^4_0 \dfrac{1}{x-2}dx$，其柯西主值为 0。但是！因为按定义必须将其分开成 $\int^2_0 \dfrac{1}{x-2} dx$ 和 $\int^4_2 \dfrac{1}{x-2} dx$，这两个式子都发散，所以原积分发散！

9. 一元函数积分学的计算

⚠️ 本章极其容易犯错的细节：

• （1）当定积分上下限区间内$\textcolor{red}{包含瑕点}$时，必须将定积分拆开来算！
• （2）换元、变限积分求导等问题中，要小心 $-\sqrt{x^2}$ 等需要考虑$\textcolor{red}{正负号变换}$的细节！比如【1000a.9.17】

1. 容易遗忘的重要积分公式
   • （1）$\int \dfrac{dx}{\cos x} = \int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
   • （2）$\int \dfrac{dx}{\sin x} = \int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
   • （3）$\int \sec ^2 x dx = \tan x + C$
   • （4）$\int \csc ^2 x dx = -\cot x + C$
   • （5）$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$
   • （6）$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \dfrac{x}{a} + C$
   • （7）$\int - \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arccos \dfrac{x}{a} + C$
   • （8）$\int \sqrt{x^2 \pm a^2} dx = \dfrac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \dfrac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$
   • （9）$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \dfrac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac{x}{a} + C$
   • （10）$\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C$
   • （11）$\int \tan^2 x dx = \tan x - x + C$

💡 换元积分时的三角换元法出现的三角函数嵌套问题

• 在求解积分的时候经常需要用到三角函数进行换元，比如 $x = a\tan t / a\cot t / a\cos t / a\sin t / a\sec t / a\csc t$，当出现三角函数套反三角函数时，要记得使用几何方法（画个直角三角形）将其拆分成 $x$ 非三角函数，比如 $\sin(\arctan \dfrac{x}{a}) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$

2. 万能公式：

   • 令 $t = \tan \dfrac{x}{2}$，则 $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$，$\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
   • 一般用于求解 $\int \dfrac{1}{a+b\sin x} dx$ 或 $\int \dfrac{1}{a+b\cos x} dx$
   • 【1000a.9.1.(23)(24)】

3. 第二类换元法：

   • 如果被积函数非常复杂，可以尝试令 $x = g(u)$，引入新的自变量 $u$，使 $f(x) = f[g(u)] = h(u)$，若 $h(u)$ 更简单，则换元成功
   • 常见的换元包括（看到下面的形式要敏感）：
     • （1）三角换元：$x = a\tan t / a\cot t / a\sin t / a\cos t / a\sec t / a\csc t$
     • （2）根式换元：$\sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}} = u$ 或 $\sqrt{e^x + 1} = u$
     • （3）倒数代换：$x = \dfrac{1}{t}$
     • （4）区间转换：$x = at + c$（$a$ 一般为负数，该代换用途主要为：代换完之后不仅将原函数转换为特殊形式，还能改变积分上下限至其他积分上，比如 $\int^a_b f(x)dx = \int^a_b f(a+b -x)dx$）

💡 还有一种原函数不易求解的非奇非偶函数在关于定义域对称区间上的积分（或者对折定义域之后可以相消的积分），比较特立独行的题目，非常重要（可以看看第 11 章的区间再现部分）：

• 【1000b.9.12】$\int^1_{-1} x\ln(1+e^x) dx \\ = \int^1_0 x\ln(1+e^x)dx + \int^0_{-1} x\ln(1+e^x)dx \\ = \int^1_0 x\ln(1+e^x)dx + \int^0_{-1} x\ln(1+e^x)dx \\ =\int^1_0 x\ln(1+e^x)dx + \int^0_{1} (-x)\ln(1+e^{-x})d(-x) \\ =\int^1_0 x\ln(1+e^x)dx - \int^1_{0} x\ln(1+e^{-x})dx \\ =\int^1_0 x\ln(\dfrac{1+e^x}{1+e^{-x}})dx \\ =\int^1_0 x\ln e^xdx \\ = \int^1_0 x^2 dx$
• 【1000b.9.26】$\int^5_{-1} \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} dx \\ = \int^5_2 \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} dx + \int^2_{-1} \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} dx \\ = \int^5_2 \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} dx + \int^2_5 \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{2-t}}} d(4-t) \\ = \int^5_2 \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} dx + \int^5_2 \dfrac{1}{1 + 2^{-\sqrt[3]{t-2}}} dt \\ = \int^5_2 \dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} dx + \int^5_2 \dfrac{1}{1 + 2^{-\sqrt[3]{x-2}}} dx \\ = \int^5_2 (\dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} + \dfrac{1}{1 + 2^{-\sqrt[3]{x-2}}} )dx \\ = \int^5_2 (\dfrac{1}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} + \dfrac{2^{\sqrt[3]{x-2}}}{1 + 2^{\sqrt[3]{x-2}}} )dx \\ = \int^5_2 1 dx$
• 【1000b.9.28】$\int^{+\infty}_0 \dfrac{x\ln x}{1+x^4} dx \\ = \int^{+\infty}_1 \dfrac{x\ln x}{1+x^4} dx + \int^{1}_0 \dfrac{x\ln x}{1+x^4} dx \\ = \int^{+\infty}_1 \dfrac{x\ln x}{1+x^4} dx + \int^{1}_{+\infty} \dfrac{\frac{1}{t}\ln (\frac{1}{t})}{1+(\frac{1}{t})^4} d(\frac{1}{t}) \\ = \int^{+\infty}_1 \dfrac{x\ln x}{1+x^4} dx + \int^{1}_{+\infty} \dfrac{\frac{1}{t} (-\ln t)}{1+(\frac{1}{t})^4} (-\dfrac{1}{t^2})dt \\ = \int^{+\infty}_1 \dfrac{x\ln x}{1+x^4} dx - \int^{+\infty}_{1} \dfrac{t \ln t}{1+t^4} dt \\ =0$

4. Gamma 函数
   • 定义：$\Gamma(\alpha) = \int^{+\infty}_0 x^{\alpha - 1} e^{-x} dx$
   • $\int^{+\infty}_{0} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

10. 一元函数积分学的几何应用

⚠️ 本章重点习题：

• 【1000a-10-11】
• 【1000b-10-10、12、17、21、22、24】

1. 计算面积

   • （1）直角坐标系下：$S = \int^a_b |f_1(x) - f_2(x)| dx$
   • （2）极坐标系下（扇形区域）：$S = \int^{\beta}_{\alpha} \dfrac{1}{2} |r_2^2(\theta) - r_1^2(\theta)| d\theta$

2. 平面曲线绕定直线旋转体体积

   • （1）设平面曲线 $L$：$y=f(x)$，$a\le x\le b$ 且 $f(x)$ 可导
   • （2）定直线 $L_0$：$Ax + By + C = 0$ 且 $L_0$ 的任一条垂线与 $L$ 至多有一个交点
   • （3）则 $L$ 绕 $L_0$ 旋转一周的旋转体体积：$V = \dfrac{\pi}{(A^2+B^2)^{\frac{3}{2}}} \int^b_a [Ax +Bf(x) +C]^2 |Af'(x) -B|dx$
   • （4）设平面图形 $D = \{(r, \theta) | 0 \le r \le r(\theta), \theta\in[\alpha, \beta]\subset [0, \pi] \}$，则 $D$ 绕极轴（一般是 $x$ 轴）旋转一周所得旋转体的体积为 $V = \dfrac{2}{3} \int^{\beta}_{\alpha} r^3(\theta) \sin\theta d\theta$

3. 平均值：$\overline{f} = \dfrac{1}{b-a} \int^b_a f(x) dx$

4. 平面曲线的弧长

   • （1）$y = y(x)(a\le x\le b)$：$s = \int^b_a ds = \int^b_a \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx$
   • （2）$r = r(\theta)(\alpha\le \theta\le\beta)$：$s = \int^{\beta}_{\alpha} ds = \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$
   • （3）$\begin{cases} x = x(t) \\ y=y(t) \end{cases}(\alpha\le t\le\beta)$：$s = \int^{\beta}_{\alpha} ds = \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$

💡 这里记录的是 $ds = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx$ 或另外两个形式，实际上也可以旋转一下坐标系，即 $ds = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx = \sqrt{1 + [x'(y)]^2} dy$

5. 旋转曲面面积
   • （1）$y = y(x)(a\le x\le b)$ 绕 $x$ 轴旋转：$S = 2\pi \int^b_a |y(x)| \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx$
   • （2）$r = r(\theta)(\alpha\le \theta\le\beta)$ 绕 $x$ 轴旋转：$S = 2\pi \int^{\beta}_{\alpha} |r(\theta) \sin \theta| \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$
   • （3）$\begin{cases} x = x(t) \\ y=y(t) \end{cases}(\alpha\le t\le\beta)$ 绕 $x$ 轴旋转：$S = 2\pi \int^{\beta}_{\alpha} |y(t)| \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$

💡 做题需要注意：

• 连续函数 $f(x)$ 的一个原函数表达形式常写为 $F(x) = \int^x_0 f(u) du$，考试时见到 $F(x) \int^x_0 f(u)du$，一般令 $F(x) = \int^x_0 f(u)du$，这样就有 $F'(x) = f(x)$，即得 $F'(x) F(x)$，于是 $\int F'(x) F(x) dx = \int F(x) d[F(x)] = \dfrac{1}{2} F^2(x) + C$，这个思路非常重要
• 上面这个思路主要出现在求平均值里（？）

6. 形心坐标：

   • （1）$\overline{x} = \dfrac{\iint\limits_{D} x d\sigma}{\iint\limits_{D} d\sigma} = \dfrac{\int^b_a dx \int^{f(x)}_0 x dy}{\int^b_a dx \int^{f(x)}_0 dy} = \dfrac{\int^b_a xf(x) dx}{\int^b_a f(x) dx}$
   • （2）$\overline{y} = \dfrac{\iint\limits_{D} y d\sigma}{\iint\limits_{D} d\sigma} = \dfrac{\int^b_a dx \int^{f(x)}_0 y dy}{\int^b_a dx \int^{f(x)}_0 dy} = \dfrac{\frac{1}{2} \int^b_a f^2(x) dx}{\int^b_a f(x) dx}$

7. 重心坐标

   • （1）$\overline{x} = \dfrac{\iint\limits_{D} x \rho d\sigma}{\iint\limits_{D} \rho d\sigma}$
   • （2）$\overline{y} = \dfrac{\iint\limits_{D} y \rho d\sigma}{\iint\limits_{D} \rho d\sigma}$

11. 一元函数积分学的应用：积分等式与积分不等式

⚠️ 本章重点习题：

• 【张宇强化.11.例1】

1. 祖孙三代奇偶性

   • （1）$f(x)$ 为可导的奇函数 $\Rightarrow f'(x)$ 为偶函数
   • （2）$f(x)$ 为可导的偶函数 $\Rightarrow f'(x)$ 为奇函数
   • （3）$f(x)$ 为可积的奇函数 $\Rightarrow \int^x_0 f(t) dt$ 为偶函数（注意下限为 0）
   • （4）$f(x)$ 为可积的偶函数 $\Rightarrow \int^x_0 f(t) dt$ 为奇函数（注意下限为 0）
   • （5）$\int^a_{-a} f(x) dx = \dfrac{1}{2} \int^a_{-a} [f(x) + f(-x)]dx = \int^a_0 [f(x) + f(-x)] dx$（区间再现公式，比如 $f(x) = \dfrac{1}{1+e^x}, \dfrac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}, \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ 等，本身没有奇偶性，但可以借助上式处理成易积分的函数）

2. 祖孙三代周期性

   • （1）若 $f(x)$ 是可导且以 $T$ 为周期的周期函数，则 $f'(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数
   • （2）若 $f(x)$ 是可积且以 $T$ 为周期的周期函数，则 $\int^x_0 f(t) dt$ 是以 $T$ 为周期的周期函数 $\Leftrightarrow \int^T_0 f(x) dx = 0$
   • （3）若 $f(x)$ 是可积且以 $T$ 为周期的周期函数，则 $\int^T_0 f(x) dx = \int^{a+T}_{a} f(x) dx \Leftrightarrow \int^{a+nT}_{a} f(x) dx = n\int^{T}_0 f(x) dx$

3. 区间再现大观 ⭐

   • （1）$\int^b_a f(x) dx = \int^b_a f(a+b - x) dx$
   • （2）$\int^b_a f(x) dx = \dfrac{1}{2} \int^b_a [f(x) + f(a+b - x)] dx$
   • （3）$\int^b_a f(x) dx = \int^{\frac{a+b}{2}}_a [f(x) + f(a+b - x)] dx$（$F(x) = f(x) +f(a+b-x)$ 关于 $x = \dfrac{a+b}{2}$ 对称）
   • （4）$\int^{\pi}_0 xf(\sin x) dx = \dfrac{\pi}{2} \int^{\pi}_0 f(\sin x)dx$
   • （5）$\int^{\pi}_0 xf(\sin x) dx = \pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 f(\sin x)dx$
   • （6）$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} f(\sin x)dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} f(\cos x) dx$
   • （7）$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} f(\sin x, \cos x)dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} f(\cos x, \sin x) dx$

4. 华里士公式（点火公式）

   • （1）$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n x dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n x dx = \begin{cases} \dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{n-3}{n-2} \times ... \times \dfrac{2}{3} \times 1,& n 为大于 1 的奇数 \\ \dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{n-3}{n-2} \times ... \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{2},& n 为正偶数 \end{cases}$
   • （2）$\int^{\pi}_0 \sin^n x dx = \begin{cases} 2\times \dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{n-3}{n-2} \times ... \times \dfrac{2}{3} \times 1,& n 为大于 1 的奇数 \\ 2\times \dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{n-3}{n-2} \times ... \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{2},& n 为正偶数 \end{cases}$
   • （3）$\int^{\pi}_0 \cos^n x dx = \begin{cases} 0 \\ 2\times \dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{n-3}{n-2} \times ... \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{2},& n 为正偶数 \end{cases}$
   • （4）$\int^{2\pi}_0 \cos^n x dx = \int^{2\pi}_0 \sin^n x dx = \begin{cases} 0 \\ 4\times \dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{n-3}{n-2} \times ... \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{2},& n 为正偶数 \end{cases}$

5. 积分中值定理

   • （1）若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得 $\int^b_a f(x) dx = f(\xi) (b-a)$
   • （2）需要把积分值表示成函数值的时候要想到这个中值定理，反之，某些特殊函数值也可以用定积分表示（比如 $\dfrac{\pi}{4} = \int^{+\infty}_1 \dfrac{1}{1+x^2} dx$）
   • （3）推广：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积且不变号，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $\int^b_a f(x) g(x) dx = f(\xi) \int^b_a g(x) dx$

💡 积分中值定理（3）推广的证明（其实是基础 30 讲里的原题）：

• 设 $F(x) = \int^x_0 f(t) g(t) dt$，$G(x) = \int^x_0 g(t) dt$
• 根据柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $\dfrac{F(b) - F(a)}{G(b) - G(a)} = \dfrac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$
• 即 $\dfrac{\int^b_a f(t)g(t) dt}{\int^b_a g(t)} = \dfrac{f(\xi)g(\xi)}{g(\xi)}$
• 化简得到 $\int^b_a f(x) g(x) dx = f(\xi) \int^b_a g(x) dx$

6. 定积分不等式问题
   • （1）比较定理：设 $f(x)$，$g(x)$ 连续，则 $f(x) \le g(x) \Rightarrow \int^b_a f(x) dx \le \int^b_a g(x) dx, b>a$
   • （2）估值定理：设 $f(x)$ 连续，则 $m\le f(x) \le M \Rightarrow m(b-a) \le \int^b_a f(x) dx \le M(b-a), b>a$
   • （3）绝对值不等式：设 $f(x)$ 连续，则 $|\int^b_a f(x) dx| \le \int^b_a |f(x)| dx, b>a$

💡 协方差恒等式【1000a-11-8】：

• （1）在 $[0, 1]$ 上：$\int^1_0 f(x)g(x) dx - \int^1_0 f(x) dx \int^1_0 g(x) dx = \dfrac{1}{2} \int^1_0 \int^1_0 [f(x) - f(y)][g(x) - g(y)] dx dy$
• （2）在 $[a, b]$ 上：设 $L = b-a$，则 $\dfrac{1}{L}\int^b_a f(x)g(x) dx - (\dfrac{1}{L}\int^b_a f(x) dx)(\dfrac{1}{L} \int^b_a g(x) dx )= \dfrac{1}{2L^2} \dfrac{1}{2} \int^b_a \int^b_a [f(x) - f(y)][g(x) - g(y)] dx dy$
• （3）离散形式：$\dfrac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} a_i b_i - (\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} a_i)(\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} b_i) = \dfrac{1}{2n^2} \sum\limits^n_{i=1} \sum\limits^n_{j=1} (a_i - a_j)(b_i - b_j)$
• （4）如果离散形式里的两个数列都是递增的，右边 $\ge 0$，则有：$\dfrac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1} a_i b_i \ge (\dfrac{1}{n} \sum\limits^n_{i=1} a_i)(\dfrac{1}{n} \sum\limits^n_{i=1} b_i)$（离散版切比雪夫不等式）
• （5）把 $x$ 看成一个随机变量，那么就有：$E[fg] - E[f]E[g] = \dfrac{1}{2} E\{[f(X)-f(Y)][g(X) - g(Y)]\}$，其中 $X, Y$ 是两个独立同分布的随机变量

💡 一类数形结合的创新题型【1000b-11-3】

设 $f(x)$ 是 $[0, 1]$ 上的可导函数，$f(0) = f(1) = 1$，$\max\limits_{0\le x\le 1} \{|f'(x)|\} = 1$，则 $\int^1_0 f(x) dx$ 的范围为：

• （1）设 $F(x) = f(x) - x - 1$，则 $F'(x) = f'(x) - 1 \le 0 \Rightarrow F(x)$ 单调递减，所以：
  • $F(x) < F(0) = 0$ 即 $f(x) \le x+1$
  • $F(x) > F(1) = -1$ 即 $f(x) > x$
• （2）设 $F(x) = f(x) + x$，则 $F'(x) = f'(x) + 1 \ge 0 \Rightarrow F(x)$ 单调递增，所以：
  • $F(x) < F(1) = 2$ 即 $f(x) < 2 - x$
  • $F(x) > F(0) = 1$ 即 $f(x) > 1 - x$
• （3）所以 $f(x)$ 在 $y=x$、$y=x+1$、$y=2-x$、$y=1-x$ 四条线围城的区域内
• （4）计算面积可以得到 $\dfrac{3}{4} < \int^1_0 f(x) dx < \dfrac{5}{4}$

7. 柯西积分不等式（柯西-施瓦茨不等式，不过🥟神说没用到过…）
   • 若函数 $\varphi(x)$ 与 $\psi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则有 $[\int^b_a \varphi(x) \psi(x) dx]^2 \le \int^b_a \varphi^2(x) dx \int^b_a \psi^2(x) dx$

12. 一元函数积分学的物理应用

1. 物理应用
   • （1）变力 $F(x)$ 沿直线做功：$W = \int^b_a F(x)dx$
   • （2）抽水做功：$W = \rho g \int^b_a xA(x) dx$（$A(x)$ 为水平截面面积，$x$ 为水深）
   • （3）静水压力：$P = \rho g \int^b_a x[f(x) - h(x)] dx$（$f(x) - h(x)$ 表示矩形条宽度，$x$ 表示水深）
   • （4）变速直线运动的位移：$s = \int^{t_2}_{t_1} v(t) dt$
   • （5）引力：$F = \int^0_{-l} \dfrac{Gm\mu}{(a-x)^2}dx$

💡 剩下的似乎没什么了，遇到创新的题目要记得用微元法试一试